1 研究背景
地下水源熱泵是極具潛力的一項綠色節能技術，2005 年被中國建設部列為建筑業十項新技術之一，其在建筑物中的推廣應用是國家列為節約資源節約工作重點之一，同時許多地方都把發展地源熱泵作為發展本地經濟的一個契機。例如北京市，自1999年起以北京工業大學為基地，進行地熱供暖示范工程及低溫地熱能梯級利用技術研究，同時將地源熱泵中央空調作為2008 年北京奧運會指定選用的空調形式。
地下水源熱泵技術（GSHP:Ground Source Heat Pump），是一種采集淺層低溫地能（地下水，如圖1所示），同時滿足供暖和制冷的需求，并且實現零污染排放的能源利用方式。地源熱泵的研究雖然從1912年就起始，并且20世紀50年代在歐洲和美國經歷了研究的第一次熱潮，但直到20世紀70年代，世界石油危機使得人們關注節能、高效用能，地源熱泵的推廣應用才得以迅速展開。它不僅利用了大自然的可再生能源，大幅度節約傳統的高品位建筑用能，還可以真正實現供暖制冷無污染的綠色居住環境。國內外專家均認為，采集大自然低溫可再生能特別是淺層地能是21世紀取代傳統供暖制冷方式最為現實最有前途的技術措施。但是地下水的大量采集如果沒有進行及時的回灌會造成地表的沉降，從而影響到建筑物的使用安全，因此對采集后的地下水（利用后的地下水）進行回灌是很有必要的。但是對地下水的回灌并不像采集時那么輕松，由其引出回灌過程中困難的問題，造成回灌困難的機理一般為物理堵塞，化學堵塞以及微生物堵塞這三大類，鑒于本文的研究方向，我們只著眼于物理堵塞的問題上，從懸浮顆粒的遷移和沉積著手，圖2為物理堵塞的示意圖。
圖1 地下水源型熱泵示意圖
圖2 固體顆粒通道阻塞示意圖
在國外，Iwasaki(1937年)首先提出了顆粒捕獲和滲透的現象模型，模型假定顆粒沉積符合線性動力學方程，模型的數值解通實驗結果有較好的吻合，因此該模型應用到由于巖石滲透性下降引起注水井注水效率降低是有所幫助的，但是該模型并沒有考慮顆粒的遷移機理，只是假定了單一的線性關系。隨后，不同的學者在微觀節點模型上進行了大量的研究，比如Payatakes et al.(1974年)，Siqueira et al(2003年)等，在他們的研究都涉及到顆粒沉積的力學機理。
Sharma and Yortsos(1987年)對多孔介質中懸浮顆粒遷移的平衡方程進行了推導，假定了孔隙的大小是均勻分布，整個孔隙都可有懸浮顆粒通過并且顆粒的遷移是隨著孔隙內水體的流動而流動，但是在假定多孔介質中孔隙的大小均勻分布時是有所缺陷的，因為在自然界中當懸浮顆粒經過比其直徑小的孔隙時將堵塞在孔隙的入口處，當懸浮顆粒流經比其直徑大時才會在孔隙中隨著水體的流動而流動；Wang H.Q(2002年)通過室內試驗發現造成堵塞的顆粒受到尺寸效應的影響，從而打破了以前的一些單一的假設。
在國內，何滿潮等(2002,2004年)對地熱水對井回灌滲流場中的滲透系數進行了研究，研究得出受地下水溫度的影響，在井體周圍產生物理堵塞，使得井體周圍的滲透系數減小，從而增加了回灌的難度，并且得出了 這一衰減方程。方肇洪等(2006年)對單井回灌地源熱泵承壓含水層滲流給出了具體的解析解。雖然國內的不少學者在地源熱泵井的回灌問題上做了大量的工作，但是在因回灌困難帶來的物理堵塞的機理上的研究是很少的，筆者本著簡單的原則來推導物理堵塞機理的理論。
本文在肯定了國內外學者的貢獻基礎之上建立了多孔介質中顆粒的遷移方程和顆粒的沉積模型，同時在模型的建立過程中充分考慮了顆粒流動速度折減系數、孔隙率的變化以及顆粒在孔隙里發生捕獲的概率這三因素，為解決地源熱泵回灌井物理堵塞的室內外的實驗研究提供理論依據，望能給地下水源熱泵技術的大范圍的推廣提供堅實的理論基礎。
2 多孔介質中顆粒遷移和沉積的數學模型的建立
首先給出幾個基本假定：
懸浮顆粒為球體，其半徑保持不變，大小為 。
多孔介質里的孔隙為圓柱體，半徑為 ，且服從正態分布。
流體為不可壓縮的，均勻，并且只考慮一維情況下的流體的流動。
2.1 傳統深層過濾模型
1937年Iwasaki 首先建立了深層過濾系統中顆粒遷移的數學模型，1970年Herzig等在結合達西定律同時考慮顆粒質量平衡、顆粒捕獲動力效應后得到的如式(1)的經典數學模型：
式(1)在適當的邊界條件下可以通過拋物線法（Massi at el,2002）得出具體的解析解，事實上，式(1)中第一和第二式是相互獨立的，二者構成顆粒遷移和捕獲的動力模型，但是我們從式(1)可以看出，式中并未考慮了懸浮顆粒速度折減系數、孔隙率的變化以及流量折減系數以及懸浮顆粒捕獲概率的影響，我們可以說式（1）是不全面的，因此本文的重點將放在考慮三大變化因素（速度折減系數，流量折減系數，捕獲概率）上，來推導多孔介質中懸浮顆粒的遷移和沉積的方程。
2.2模型的建立過程
在解決問題前，首先引入懸浮顆粒，捕獲顆粒以及孔隙半徑的分布，
式（12）的物理意義為：孔隙入口處顆粒的沉積是大于孔隙半徑的懸浮顆粒引起的，也即通常所假定的一個顆粒能阻塞一個孔隙；反之亦然。
接下來推導懸浮顆粒和捕獲顆粒的平衡方程：
顆粒流動方程的建立：
當顆粒流經大于其半徑的新的孔隙前并不能保證所有的懸浮顆粒都能進入孔隙中，所以我們引入參數進入
式（20）就是所求懸浮顆粒整體平衡方程，同式（1）的第一個式子相比較后，在引入了流量折減系數，空隙率折減系數和速度折減系數后表達式變得更加完善，當然式子的形式變的更復雜，這樣給求解問題帶來的很大的困難。
封閉系統中的控制方程：
此處的封閉系統指顆粒進入孔隙后在孔隙內的遷移、沉積以及捕獲的過程。
研究的重點將放在顆粒捕獲率和孔隙堵塞動力方程上；
3 邊界條件
下面將對孔隙介質中邊界條件的確立進行描述，在確定邊界條件時我們更多的是關心懸浮顆粒在入口處的濃度變化情況，在初始階段，我們先假定一給定的顆粒濃度的分布，如式(24)所示，多孔介質的入口處的橫截面可以理解為一個多孔篩，注入的細顆粒在水體作用下流經可利用的多孔介質的孔隙中，對于那些末能利用的多孔介質的孔隙將發生沉積現象，久而久之，將在孔隙壁形成沉積，進而影響堵塞。下式為懸浮顆粒在注入的起始階段的邊界條件的表達式。
考慮到該數學的復雜性，要給出個具體的解析解是相當的困難，在以后的工作中筆者將通過兩個簡單的例子對該模型進行驗證。
結論：
文中的模型是建立在質量守恒定律的基礎之上，在公式的推導過程中充分的考慮了流量折減系數，速度折減系數等因素，該模型對解決地源熱泵回灌井回灌困難的問題提供了理論依據，模型的建立將為后續的實驗研究提供理論基礎，筆者在接下來的工作中將利用實驗來驗證該模型。
從模型中可以得到，堵塞的發生往往是由一個顆粒所引起的，即：一個顆粒堵塞一個孔隙，反之亦然.
模型的建立考慮孔隙率變化的情況，在物質的遷移和堵塞的過程中，孔隙率的變化往往也是個動態的變化過程。
相比與傳統的過濾模型，考慮了速度折減系數和流量折減系數后模型顯的更加全面。
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